Job shop scheduling with unit time operations under resource constraints and release dates

We consider the problem of job shop scheduling with m machinesand n jobs J i, each consisting of ei unit time operations. There are s distinct resources R h and a quantity q h avaiable of each one. The execution of the j-th operation of Ji requires the presence of u ijh units of R h, 1≤i≤n, 1≤j≤ei and 1≤h≤s. I addition, ach Ji has a release date r i, that is J i cannot start before time r i. We describe algorithms for finding schedules having minimum length or sum of completion times of the jobs. Let e=max{e i} and u=| {u ijh}|. If m., s, u and e are fixed then both algorithms terminate within polynomial time.Considera-se o problema de job shop scheduling com m máquinas e n jobs Ji, cada qual consistindo de ei operações de tempo unitário. Existem s recursos distintos Rh, cada um disponível em quantidade qh. A execução da j-ésima operação de Ji requer a presença de u ijh unidades de R h, 1≤i≤n, 1≤j≤e i e 1≤h≤s. Em adição, cada Ji possui uma data de liberação r i. São descritos algoritmos para determinar schedules possuindo comprimento ou tempo médio de término mínimos. Seja e =max{e i} e u=| {u ijh}|. Se m, s, u e e são fixos então ambos os algoritmos terminam em tempo polinomial

An algorithm for the many-visits m-traveling salesman problem

We described a method based on integer linear programming for solving the many-visitis m-traveling salesman problem.Descreve-se um método baseado em programação linear inteira para a solução do problema do m-caixeiro viajante com múltiplas visitas

On a min-max conjecture for reducible digraphs

A. Frank and A. Gyárfás (1976) have conjectured that in a reducible digraph D the maximum number of edge disjoint cycles equals the minimum number of edges intersecting all cycles of D. We prove this conjecture in the special case when D has at most two distinctdominators. The proof leads to a polynomial time algorithm for finding both the maximum set of cycles and minimum set of edges, in the considered case.A. Frank e A. Gyártás (1976) conjecturaram que em um dígrato redutível D o número máximo de ciclos disjuntos em arestas é igual ao número mínimo de arestas que interceptam todos os cicIos de D. Provamos essa conjectura no caso especial em que D possui no máximo dois denominadores distintos. A prova conduz a um algoritmo polinomial para encontrar. tanto o conjunto máximo de cicIos quanto o conjunto mínimo de arestas, no caso considerado

On edge transitivity of directed graphs

We examine edge transitivity of directed graphs. The class of local comparability graphs is defined as the underlying graphs of locally edge transitive digraphs. The latter generalize edge transitive orientations, while local comparability graphs include comparability, anti-comparability and circle graphs. Recognizing local comperability graphs is NP-complete, however they are differences of comparability graphs. We define dimension so as to generalize that of an edge transitive digraph. Connect proper interval graphs are characterized as exaclty the class of local comparability graphs of dimension one. Finally, a characterization of circle graphs is given also in terms of edge transitivity.Examinamos transitividade em arestas de grafos direcionados. A classe dos grafos de comparabilidade local é definida como os grafos subjacentes dos dígrafos localmente transitivos em arestas. Estes últimos generalizam orientações transitivas em arestas, enquanto que grafos de comparabilidade local incluem os de comparabilidade, anti-comparabilidade e circulares. Reconhecer grafos de comparabilidade local é NP-completo, contudo, eles constituem diferenças de grafos de comparabilidade. Definimos dimensão de modo a generalizar a de um dígrafo transitivo em arestas. Os grafos conexos de intervalo próprio são caracterizados exatamente como a classe dos de comparabilidade local de dimensão um. Finalmente, uma caracterização dos grafos circulares é apresentada em termos de transitividade em arestas

Algorithms for scheduling independent jobs with restricted processing times

We describe exact algorithms for R//Cmax' P//Cmax and RM//Cmax. Let k be the maximum cardinality of a subset of jobs, any two of them with different processing times in some machine. If k is fixed the algorithms terminate within polynomial time. In this case, if additionally the maximum processing time can be expressed as a polynomial in the number n of jobs then Pm//Cmax can be solved in 0 (n) time. The proposed algorithms allow the processing times to be real numbers, except that for Pm//max which restricts them to integers.Descrevemos algoritmos para R//Cmax, P//Cmax e RM//Cmax. Seja a menor cardinalidade de um subconjunto de tarefas, onde duas quaisquer dessas possuem tempos de processamento diferentes em alguma máquina. e Se k é fixo, os algoritmos terminam em tempo polinomial. Nesse caso, se adicionalmente o tempo de processamento máximo for expresso como um polinômio no número n de tarefas então Rm//Cmax pode ser resolvido em tempo 0 (n). Os algoritmos propostos permitem que os tempos de processamento sejam números reais, exceto no problema Rm//Cmax' qye os restringe a inteiros

Many-visits vehicle routing problems

We consider constrained routing problems where each city is to be visited possibly many times. Two algorithms are given having complexities which are exponentials in the number of cities, but not i the number of visits. I addition, a critria is proposed for classifying algorithms for general many-visits routhing/scheduling problems.Consideramos problemas de roteamento com restrições, onde cada cidade deve ser visitada, possivelmente, várias vezes. Descrevemos dois algoritmos cujas complexidades são expressões exponenciais no número de cidades, porém não no número de visitas. Além disso, propomos um critério de classificação de algoritmos para problemas gerais de scheduling/roteamento com múltiplas visitas

A parallel algorithm for finding spanning trees of graphs

We describe a parallel algorihm for finding the connected components of a graph. The algorithm constructs a spanning tree for each of its connected components in O(log²n) time with O((n+m)/log n) processors and O(n+m) space, under a CREW PRAM model, where n and m are the number of vertices and edges of the graph, respectively.Descrevemos um algoritmo paralelo para determinar os componentes conexos de uma grafo. O algoritmo constroi uma árvore geradora para cada um de seus componentes conexos em tempo O(log² n), com O((n+m)/log n) processadores e O(n+m) espaço, sob um modelo CREW PRAM, onde n e m representam os números de vertices e arestas do grafo, respectivamente

On minimum cuts of cycles by vertices and vertex disjoint cycles

We describe a new family of di.graphs, named connectively reducible, for which we prove that the minimum cardinality of a set of vertices intersecting all cycles equals the maximum cardinality of a set of vertex disjoint cycles. In.addltion, formulate polynomial time algorithms for the problems of recognition and finding these minimum and maxium sets for digraphs of the family. Similar results hold for the currently existing families of fully reducible and cyclically reducible digraphs. Neither the fully reducible are contained nor contain the cyclically reducible. However, we show that the connectively reducible digraphs contain both of the existing families.Descrevemos uma nova família de dígrafos, denominados conexamente redutíveis, para a qual provamos que, a cardinalidade mínima de um conjunto de vértices que interceptam todos os ciclos iguala à máxima de um conjunto de ciclos disjuntos em vértices. Além disso, formulamos algoritmos polinomiais para os prpblemas de reconhecimento e determinação desses conjuntos, mínimo e máximo, para dígrafos dessa família. Resultados similares são conhecidos para os dígrafos totalmente redutíveis. Mais recentemente, uma outra família foi definida, os dígrafos ciclicamente redutíveis, que também possibilita a computação em tempo polinomial desses conjuntos mínimo e máximo. E conhecido o fato de que os dígrafos totalmente redutíveis não estão contidos nem contêm os ciclicamente redutíveis. Em contraste, provamos que os conexamente redutíveis, contêm ambas as famílias existentes

A note of the computation of the k-closure of a graph

Bondy and Chvátal introduced the concept of k-closure of a graph and described an algorithm which constructs it in 0 (n4) steps. In this note is presented a method having complexity 0 (n³).Bondy e Chvátal apresentaram o conceito de k-fechamento de um grafo e descreveram um algoritmo que o constrói em 0 (n4) passos. Nessa nota apresenta-se um método cuja complexidade é 0 (n³)

A representation for the modules of a graph and applications

We describe a simple representation for the modules of a graph C. We show that the modules of C are in one-to-one correspondence with the ideaIs of certain posets. These posets are characterizaded and shown to be layered posets, that is, transitive closures of bipartite tournaments. Additionaly, we describe applications of the representation. Employing the above correspondence, we present methods for solving the following problems: (i) generate alI modules of C, (ii) count the number of modules of C, (iii) find a maximal module satisfying some hereditary property of C and (iv) find a connected non-trivial module of C